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凯利公式

问题

某项投资:

数据 F f p q b
概率 拥有资本总值 应投资本比值 获胜概率 失败概率(1 - p) 赔率

那么应不应该投资?应该如何投资?

推导

第k+1次投资结果

成功投资:$F_{k+1} = F_k(1+bf)$
失败投资:$F_{k+1} = F_k(1-f)$

第n次投资结果

$F_n = F (1+bf)^{np}(1-f)^{n(1-p)}$

取对数:

$\sqrt[n]{F_n \over F} = (1+bf)^{p}(1-f)^{(1-p)}$

$\ln F_{(f)} = \ln(1+bf)^{p}(1-f)^{(1-p)}$

$\ln F_{(f)} = \ln(1+bf)^{p} + \ln(1-f)^{(1-p)}$

$\ln F_{(f)} = p\ln(1+bf)+(1-p)\ln(1-f)$

求导:

${d\ln F_{(f)} \over df } = p{1 \over (1+bf)}(1+bf)^{‘} + (1-p){1 \over (1-f)}(1-f)^{‘}$

${d\ln F_{(f)} \over df } = {pb \over (1+bf)} + {(1-p)(-1) \over (1-f)}$

${d\ln F_{(f)} \over df } = {(pb + p -1) - bf \over (1+bf)(1-f)}$

因为$\ln F_{(f)}$为增函数,所以导数如果等于0,可以求取最大值,即每次投资收益最大值。

公式

$$f = {pb - (1 - p) \over b}$$
f > 0 按比例投资
f < 0 不投资

结论

理论永远是理论,不要和现实混为一谈。