凯利公式
问题
某项投资:
数据 | F | f | p | q | b |
---|---|---|---|---|---|
概率 | 拥有资本总值 | 应投资本比值 | 获胜概率 | 失败概率(1 - p) | 赔率 |
那么应不应该投资?应该如何投资?
推导
第k+1次投资结果
成功投资:$F_{k+1} = F_k(1+bf)$
失败投资:$F_{k+1} = F_k(1-f)$
第n次投资结果
$F_n = F (1+bf)(1-f){n(1-p)}$
取对数:
$\sqrt[n]{F_n \over F} = (1+bf)(1-f){(1-p)}$
$\ln F_{(f)} = \ln(1+bf)(1-f){(1-p)}$
$\ln F_{(f)} = \ln(1+bf)+ \ln(1-f){(1-p)}$
$\ln F_{(f)} = p\ln(1+bf)+(1-p)\ln(1-f)$
求导:
${d\ln F_{(f)} \over df } = p{1 \over (1+bf)}(1+bf){'} + (1-p){1 \over (1-f)}(1-f){'}$
${d\ln F_{(f)} \over df } = {pb \over (1+bf)} + {(1-p)(-1) \over (1-f)}$
${d\ln F_{(f)} \over df } = {(pb + p -1) - bf \over (1+bf)(1-f)}$
因为$\ln F_{(f)}$为增函数,所以导数如果等于0,可以求取最大值,即每次投资收益最大值。
公式
$$f = {pb - (1 - p) \over b}$$
f > 0 按比例投资
f < 0 不投资
结论
理论永远是理论,不要和现实混为一谈。